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Stimulated Transitions: The Classical Oscillator Model

2.1 The Classical Electron Oscillator​

1) Classical Electron Oscillator​

Classical Electron Oscillator

원자의 optical transition을 전자가 equilibrium position 근처에서 진동하는 harmonic oscillator로 근사한 모델이다.

Meaning: 복잡한 atomic transition을 resonance를 갖는 고전적인 oscillator로 단순화한다.

2) Resonance Frequency​

electron oscillator는 특정 resonance frequency에서 가장 강하게 반응한다.

실제 atomic transition과 연결할 때 resonance frequency는 transition frequency에 대응한다.

ωa≈E2−E1ℏ. \omega_a \approx \frac{E_2-E_1}{\hbar}.

Meaning: 외부 optical field의 frequency가 atomic transition frequency에 가까울수록 원자의 반응이 커진다.

3) Damped Oscillator​

실제 oscillator는 radiation과 collision 등의 영향으로 시간이 지나면서 진동이 감소한다.

기본적인 운동방정식은

d2xdt2+γdxdt+ωa2x=−emE(t). \frac{d^2x}{dt^2} + \gamma\frac{dx}{dt} + \omega_a^2x = -\frac{e}{m}E(t).

Meaning: atomic response는 resonance뿐 아니라 damping에 의해서도 결정된다.

4) Energy Decay​

oscillator의 energy는 시간에 따라 지수적으로 감소한다.

U(t)∝e−γt. U(t) \propto e^{-\gamma t}.

Meaning: γ\gamma는 transition의 energy decay rate를 나타낸다.

5) Radiative and Nonradiative Decay​

Radiative Decay

electromagnetic radiation을 방출하면서 oscillator energy가 감소하는 과정이다.

Nonradiative Decay

collision이나 lattice interaction 등을 통해 radiation 없이 energy가 감소하는 과정이다.

전체 decay rate는 여러 decay mechanism의 합으로 생각할 수 있다.

Meaning: 실제 atomic transition의 lifetime은 spontaneous radiation만으로 결정되지 않을 수 있다.

2.2 Dipole Moment and Polarization​

1) Electric Dipole Moment​

electron displacement가 x(t)x(t)일 때 microscopic electric dipole moment는

μ(t)=−ex(t). \mu(t) = -ex(t).

Meaning: optical field에 의해 전자 분포가 움직이면 atomic dipole이 형성된다.

2) Macroscopic Polarization​

많은 atomic dipole의 합은 macroscopic polarization을 만든다.

P=1V∑iμi. P = \frac{1}{V}\sum_i \mu_i.

Meaning: 개별 원자의 optical response가 합쳐져 실제 laser medium의 electromagnetic response가 된다.

3) Coherent Dipoles​

여러 dipole이 같은 frequency와 phase로 oscillation하면 서로 coherent하다.

Meaning: dipole들이 같은 phase로 움직이면 macroscopic polarization이 크게 형성된다.

2.3 Collisions and Dephasing Processes​

1) Dephasing​

Dephasing

각 atomic dipole 사이의 phase 관계가 무작위화되어 collective coherence가 감소하는 과정이다.

Meaning: 각 원자는 계속 oscillation하더라도 서로의 phase가 달라지면 전체 polarization은 감소한다.

2) Collision-Induced Dephasing​

atomic collision은 oscillator의 phase를 변화시킬 수 있다.

Meaning: collision이 반복되면 처음에 같은 phase였던 dipole들이 점차 random phase를 갖게 된다.

3) Dephasing Time​

Dephasing Time T2T_2

atomic dipole들의 coherent phase relation이 유지되는 characteristic time이다.

dephasing에 의해 coherence는 대략

e−t/T2 e^{-t/T_2}

형태로 감소한다.

Meaning: T2T_2가 짧을수록 atomic coherence가 빠르게 사라진다.

4) Polarization Decay​

individual oscillator의 amplitude decay와 dephasing이 동시에 존재하면 macroscopic polarization은 더 빠르게 감소한다.

대략적인 polarization amplitude decay rate는

γ2+1T2. \frac{\gamma}{2} + \frac{1}{T_2}.

Meaning: energy decay와 phase randomization은 서로 다른 과정이지만 둘 다 optical coherence를 감소시킨다.

2.4 Atomic Susceptibility​

1) Electric Susceptibility​

Electric Susceptibility

applied electric field에 대해 medium이 얼마나 polarization되는지를 나타내는 양이다.

P(ω)=ϵ0χ(ω)E(ω). P(\omega) = \epsilon_0\chi(\omega)E(\omega).

Meaning: χ(ω)\chi(\omega)는 optical field에 대한 laser medium의 frequency-dependent response를 나타낸다.

2) Complex Susceptibility​

atomic susceptibility는 일반적으로 complex quantity이다.

χ(ω)=χ′(ω)+iχ′′(ω). \chi(\omega) = \chi'(\omega) + i\chi''(\omega).

Meaning: real part와 imaginary part가 서로 다른 optical property를 나타낸다.

Real Part

χ′(ω) \chi'(\omega)

는 주로 refractive response와 phase 변화에 관계된다.

Imaginary Part

χ′′(ω) \chi''(\omega)

는 absorption 또는 amplification과 관계된다.

3) Resonance Response​

atomic response는

ω≈ωa \omega \approx \omega_a

에서 가장 크게 나타난다.

Meaning: laser medium은 모든 frequency에 동일하게 반응하지 않고 atomic resonance 근처에서 강하게 반응한다.

4) Lorentzian Lineshape​

damped resonant oscillator의 frequency response는 Lorentzian 형태의 spectral lineshape를 만든다.

Meaning: atomic transition은 정확히 하나의 frequency만 갖는 선이 아니라 일정한 linewidth를 갖는다.

5) Linewidth​

Chapter 2의 모델에서 homogeneous linewidth는 energy decay와 dephasing에 의해 결정된다.

Δωa=γ+2T2. \Delta\omega_a = \gamma + \frac{2}{T_2}.

Meaning: 빠른 decay나 강한 dephasing은 atomic transition의 spectral line을 넓힌다.

2.5 Conversion to Real Atomic Transitions​

1) Transition Frequency​

classical oscillator의 resonance frequency는 실제 atomic transition에서는 energy-level difference로 대체된다.

ωij=Ej−Eiℏ. \omega_{ij} = \frac{E_j-E_i}{\hbar}.

Meaning: classical oscillator model의 resonance를 실제 quantum energy levels와 연결한다.

2) Population Difference​

실제 atomic medium의 response는 두 energy level의 population difference에 의존한다.

ΔN=Ni−Nj. \Delta N = N_i-N_j.

Meaning: lower level과 upper level에 원자가 얼마나 존재하는지가 absorption과 gain의 크기를 결정한다.

3) Radiative Decay Rate​

classical radiation damping constant는 실제 transition에서는 해당 atomic transition의 decay rate로 대체된다.

Meaning: oscillator model의 damping parameter를 실제 atom의 lifetime과 연결한다.

4) Transition Linewidth​

실제 transition linewidth에는 radiative decay뿐 아니라 collision과 dephasing 등의 broadening mechanism이 포함된다.

Meaning: 실제 laser medium의 spectral width는 여러 physical process의 결과이다.

5) Homogeneous Broadening​

Homogeneous Broadening

모든 atoms가 동일한 형태의 frequency broadening을 경험하는 경우이다.

대표적인 원인은 decay와 collision-induced dephasing이다.

Meaning: 각 atom의 transition lineshape 자체가 넓어진다.

6) Inhomogeneous Broadening​

Inhomogeneous Broadening

서로 다른 atoms가 서로 다른 resonance frequency를 갖기 때문에 전체 transition line이 넓어지는 현상이다.

Meaning: 각각의 atom은 좁은 transition을 가질 수 있지만 ensemble 전체를 보면 넓은 spectrum이 나타난다.

Core Physical Flow​

Chapter 2의 핵심 흐름은 다음과 같다.

Atomic Transition→Oscillator Model→Dipole Moment→Polarization→Susceptibility→Absorption / Gain. \text{Atomic Transition} \rightarrow \text{Oscillator Model} \rightarrow \text{Dipole Moment} \rightarrow \text{Polarization} \rightarrow \text{Susceptibility} \rightarrow \text{Absorption / Gain}.

그리고 실제 medium에서는

Decay + Dephasing→Linewidth. \text{Decay + Dephasing} \rightarrow \text{Linewidth}.

Essential Study Checklist​

  • Classical electron oscillator
  • Resonance frequency
  • Damping
  • Radiative decay
  • Nonradiative decay
  • Electric dipole moment
  • Macroscopic polarization
  • Coherent dipoles
  • Dephasing
  • Dephasing time T2T_2
  • Atomic susceptibility
  • Complex susceptibility
  • χ′(ω)\chi'(\omega)
  • χ′′(ω)\chi''(\omega)
  • Resonance response
  • Lorentzian lineshape
  • Linewidth
  • Population difference
  • Homogeneous broadening
  • Inhomogeneous broadening