Volumes of Manifolds

곡선, 곡면, 일반적인 manifold의 길이와 부피를 parametrization과 derivative를 이용하여 계산하는 핵심 개념을 정리합니다.

5.1 Parallelograms and Their Volumes

1) $k$-Parallelogram

vectors

$$v_1,\ldots,v_k\in\mathbb{R}^n$$

이 만드는 $k$-dimensional parallelogram을 생각한다.

이 vectors를 columns로 가지는 matrix를

$$T= \begin{bmatrix} v_1&\cdots&v_k \end{bmatrix}$$

라고 하자.

2) Volume in $\mathbb{R}^k$

$T$가 square matrix이면

$$\operatorname{vol}_k P(v_1,\ldots,v_k) = |\det T|.$$

또한

$$\boxed{ \operatorname{vol}_k P(v_1,\ldots,v_k) = \sqrt{\det(T^TT)} }$$

이다.

3) Volume in $\mathbb{R}^n$

$T$가 $n\times k$ matrix인 경우에도 동일한 공식을 사용한다.

$$\boxed{ \operatorname{vol}_k P(v_1,\ldots,v_k) = \sqrt{\det(T^TT)} }$$

여기서

$$T^TT$$

는 $k\times k$ matrix이다.

그 entries는 vector들의 dot product이다.

$$T^TT = \begin{bmatrix} v_1\cdot v_1 & \cdots & v_1\cdot v_k\\ \vdots & \ddots & \vdots\\ v_k\cdot v_1 & \cdots & v_k\cdot v_k \end{bmatrix}.$$

Meaning: ambient space가 몇 차원이든 vectors가 만드는 실제 $k$-dimensional volume을 계산할 수 있다.

4) Linearly Dependent Vectors

$v_1,\ldots,v_k$가 linearly dependent이면

$$\boxed{ \operatorname{vol}_k P(v_1,\ldots,v_k) = 0 }$$

이다.

Meaning: $k$개의 독립적인 방향을 만들지 못하면 $k$-dimensional volume이 없다.

5) Two Vectors in $\mathbb{R}^3$

$v_1,v_2\in\mathbb{R}^3$이면

$$\sqrt{\det(T^TT)} = |v_1\times v_2|.$$

따라서 기존의 cross product를 이용한 area 공식은 일반적인 determinant 공식의 특수한 경우이다.

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5.2 Parametrizations

1) Why Parametrization Is Needed

곡선이나 곡면은 curved object이므로 직접 작은 cubes로 분해하기 어렵다.

따라서 manifold를

$$\phi:U\subset\mathbb{R}^k\to M$$

으로 parametrization한 뒤 parameter space $U$에서 적분한다.

Meaning: curved manifold를 평평한 $\mathbb{R}^k$ 좌표로 표현한다.

2) Strict Parametrization

Chapter 3의 strict parametrization은

$$\phi:U\subset\mathbb{R}^k\to M$$

에 대해

• $U$가 open
• $\phi$가 $C^1$
• $\phi$가 one-to-one
• $\phi$가 onto
• $D\phi(u)$가 one-to-one

이어야 한다.

하지만 circle, sphere, torus 같은 중요한 manifold 전체를 이런 방식으로 parametrization하기는 어렵다.

3) $k$-Dimensional Volume Zero

$k$-Dimensional Volume Zero: $k$-dimensional integration에서 무시할 수 있을 만큼 작은 집합.

예를 들어 적절한 상황에서

• point는 length 계산에서 무시할 수 있고
• point와 curve는 surface area 계산에서 무시할 수 있다.

낮은 차원의 manifold는 더 높은 dimensional volume에 대해 volume $0$이다.

4) Relaxed Parametrization

책에서는 integration을 위해 더 느슨한 parametrization을 사용한다.

$M\subset\mathbb{R}^n$이 $k$-dimensional manifold이고

$$\phi:U\to\mathbb{R}^n$$

이라고 하자.

$X\subset U$를 negligible trouble spots라고 하면 핵심 조건은 다음과 같다.

• $\phi(U)\supset M$
• $\phi(U-X)\subset M$
• $\phi:U-X\to M$은 one-to-one이고 $C^1$
• $D\phi(u)$는 $u\in U-X$에서 one-to-one
• $X$는 $k$-dimensional volume $0$

또한 $U$의 boundary도 $k$-dimensional volume $0$이어야 한다.

Meaning: 적분값에 영향을 주지 않는 작은 trouble spots에서는 parametrization이 완벽하지 않아도 허용한다.

5) Existence of Parametrizations

책에서는 모든 manifolds가 이 relaxed definition의 의미에서 parametrization될 수 있음을 보인다.

다만 실제 parametrization을 explicit formula로 구할 수 있다는 뜻은 아니다.

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5.3 Computing Volumes of Manifolds

1) Volume Element

$k$-dimensional manifold $M$의 volume은

$$\boxed{ \operatorname{vol}_kM = \int_M |d^kx| }$$

로 나타낸다.

• $|d^1x|$: element of length
• $|d^2x|$: element of area
• $|d^3x|$: element of volume

2) Local Linearization

parametrization

$$\phi:U\subset\mathbb{R}^k\to M$$

에서 derivative의 columns

$$D_1\phi(u),\ldots,D_k\phi(u)$$

는 point $\phi(u)$ 근처의 manifold를 근사하는 $k$-parallelogram을 만든다.

따라서 local volume scaling factor는

$$\boxed{ \sqrt{ \det \left( [D\phi(u)]^T[D\phi(u)] \right) } }$$

이다.

3) Volume of a Manifold

따라서

$$\boxed{ \operatorname{vol}_kM = \int_{U-X} \sqrt{ \det \left( [D\phi(u)]^T[D\phi(u)] \right) } |d^ku| }$$

이다.

Meaning: parameter space의 작은 volume을 derivative가 manifold 위의 작은 parallelogram으로 변환하며, 그 volume scaling을 모두 적분한다.

4) Integral over a Manifold

$f:M\to\mathbb{R}$에 대해

$$\boxed{ \int_M f(x)|d^kx| = \int_{U-X} f(\phi(u)) \sqrt{ \det \left( [D\phi(u)]^T[D\phi(u)] \right) } |d^ku| }$$

이다.

5) Independence of Parametrization

같은 manifold를 서로 다른 parametrizations

$$\phi_1:U\to M, \qquad \phi_2:V\to M$$

으로 표현하더라도 위의 integral 값은 같다.

Meaning: manifold의 volume은 coordinate system의 선택이 아니라 manifold 자체의 geometric quantity이다.

6) Arc Length

curve

$$\phi:[a,b]\to C$$

에서는

$$[D\phi]^T[D\phi] = |\phi'(t)|^2$$

이므로

$$\boxed{ L(C) = \int_a^b |\phi'(t)|\,dt }$$

가 된다.

7) Graph of a Function

curve

$$y=f(x)$$

는

$$\phi(x) = \begin{pmatrix} x\\ f(x) \end{pmatrix}$$

으로 parametrization된다.

따라서

$$\boxed{ L = \int_a^b \sqrt{1+(f'(x))^2}\,dx }$$

이다.

8) Surface Area in $\mathbb{R}^3$

surface

$$\phi(u,v)$$

에서는

$$\sqrt{ \det \left( [D\phi]^T[D\phi] \right) } = |D_1\phi\times D_2\phi|.$$

따라서

$$\boxed{ \operatorname{Area}(S) = \iint_U |D_1\phi\times D_2\phi| \,du\,dv }$$

이다.

9) Graph Surface

surface

$$z=f(x,y)$$

의 natural parametrization은

$$\phi(x,y) = \begin{pmatrix} x\\ y\\ f(x,y) \end{pmatrix}.$$

따라서

$$\boxed{ \operatorname{Area}(S) = \iint_U \sqrt{ 1+ (D_1f)^2+ (D_2f)^2 } \,dx\,dy }$$

이다.

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5.4 Integration and Curvature

이 section에서는 integration을 이용하여 curvature의 geometric meaning을 설명한다.

핵심 결과는 세 가지이다.

1. Gaussian curvature와 intrinsic area
2. Mean curvature와 surface area variation
3. Gaussian curvature와 Gauss map

1) Gaussian Curvature

surface의 adapted coordinates에서 quadratic part가

$$\frac12 \left( A_{2,0}X^2+ 2A_{1,1}XY+ A_{0,2}Y^2 \right)$$

이면 Gaussian curvature는

$$K = A_{2,0}A_{0,2}-A_{1,1}^2.$$

2) Geodesic Disc

$D_r(p)$를 surface $S$ 안에서 길이 $r$ 이하의 curve로 $p$와 연결할 수 있는 points의 집합이라고 하자.

즉, radius를 ambient $\mathbb{R}^3$에서 측정하는 것이 아니라 surface 위에서 측정한다.

3) Gauss's Theorema Egregium

작은 geodesic disc의 area는

$$\boxed{ \operatorname{Area}(D_r(p)) = \pi r^2 - \frac{\pi K(p)}{12}r^4 + o(r^4) }$$

이다.

Meaning: Gaussian curvature는 같은 intrinsic radius를 가진 curved disc의 area가 flat disc와 얼마나 다른지를 측정한다.

따라서

$$K>0$$

이면 flat disc보다 area가 작고,

$$K<0$$

이면 flat disc보다 area가 크다.

이 결과는 Gaussian curvature가 surface의 intrinsic geometry만으로 결정된다는 것을 보여준다.

4) Mean Curvature Vector

surface $S$를 normal vector field $w$ 방향으로 조금 이동시킨다.

$$\phi_t(x) = x+t\,w(x).$$

그 결과 얻은 surface를 $S_t$라고 하자.

surface area의 first-order change는

$$\boxed{ \operatorname{Area}(S_t) = \operatorname{Area}(S) - 2t \int_S H(x)\cdot w(x) |d^2x| + o(t) }$$

이다.

여기서 $H$는 mean curvature vector이다.

Meaning: mean curvature vector는 surface를 normal direction으로 움직였을 때 area가 어떻게 변하는지를 나타낸다.

5) Minimal Surface

surface가 nearby surfaces 가운데 locally minimal area를 가지면

$$\boxed{ H=0 }$$

이어야 한다.

즉,

$$\text{Minimal Surface} \Rightarrow \text{Mean Curvature}=0.$$

6) Gauss Map

unit normal vector field

$$n(x)$$

를 원점으로 평행이동하면 그 endpoint는 unit sphere

$$S^2$$

위의 point가 된다.

따라서

$$\boxed{ n:S\to S^2 }$$

를 Gauss Map이라고 한다.

7) Gaussian Curvature and Gauss Map

Gauss map의 derivative는

$$Dn(x): T_xS\to T_{n(x)}S^2$$

이다.

Gaussian curvature는

$$\boxed{ K(x) = \det Dn(x) }$$

이다.

Meaning: surface를 따라 움직일 때 normal direction이 얼마나 빠르게 변하는지를 determinant로 측정한 것이 Gaussian curvature이다.

8) Total Gaussian Curvature

Gauss map이 injective이면

$$\boxed{ \int_S |K(x)|\,|d^2x| = \operatorname{Area}(n(S)) }$$

이다.

Meaning: Gaussian curvature를 surface 전체에 적분하면 normal directions가 unit sphere에서 차지하는 area와 연결된다.

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5.5 Fractals and Fractional Dimension

1) Fractional Dimension

dimension은 반드시 integer일 필요가 없다.

self-similar object에서는 scaling relation을 이용하여 fractional dimension을 생각할 수 있다.

2) Self-Similarity

어떤 object가 원래 object를 scale factor $s$로 확대했을 때 $N$개의 작은 copies로 이루어진다고 하자.

dimension을 $d$라고 하면

$$s^d=N.$$

따라서

$$\boxed{ d= \frac{\ln N}{\ln s} }$$

이다.

3) Koch Snowflake

Koch curve에서는 전체 object가

• $4$개의 작은 copies로 구성되고
• 각 작은 copy를 $3$배 확대하면 전체 크기가 된다.

따라서

$$3^d=4$$

이고

$$\boxed{ d= \frac{\ln4}{\ln3} \approx1.26 }$$

이다.

Meaning: curve보다 복잡하지만 surface보다는 작은 dimension을 가진다.

4) Sierpinski Gasket

Sierpinski gasket에서는

• $3$개의 copies
• scale factor $2$

이므로

$$2^d=3.$$

따라서

$$\boxed{ d= \frac{\ln3}{\ln2} \approx1.58 }$$

이다.

이 dimension보다 큰 dimension에서 volume은 $0$이 되고, 더 작은 dimension에서는 infinite가 된다.

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Essential Study Checklist

반드시 이해해야 할 내용:

• $k$-Parallelogram
• General $k$-Dimensional Volume

$$\boxed{ \operatorname{vol}_kP = \sqrt{\det(T^TT)} }$$

• Linearly Dependent Vectors

$$\operatorname{vol}_kP=0$$

• $k$-Dimensional Volume Zero
• Strict Parametrization과 Relaxed Parametrization의 차이
• Parametrization의 trouble spots $X$
• Manifold Volume Formula

$$\boxed{ \operatorname{vol}_kM = \int \sqrt{ \det \left( [D\phi]^T[D\phi] \right) } }$$

• Integral over a Manifold

$$\boxed{ \int_Mf|d^kx| = \int (f\circ\phi) \sqrt{ \det \left( [D\phi]^T[D\phi] \right) } |d^ku| }$$

• Integral이 parametrization에 의존하지 않는다는 점
• Arc Length

$$\boxed{ L= \int|\phi'(t)|dt }$$

• Surface Area in $\mathbb{R}^3$

$$\boxed{ A= \iint |D_1\phi\times D_2\phi| \,du\,dv }$$

• Graph Surface

$$\boxed{ A= \iint \sqrt{ 1+f_x^2+f_y^2 } \,dx\,dy }$$

• Gaussian Curvature의 intrinsic meaning

$$\boxed{ \operatorname{Area}(D_r(p)) = \pi r^2 - \frac{\pi K(p)}{12}r^4 + o(r^4) }$$

• Mean Curvature와 area variation
• Minimal Surface

$$\boxed{ H=0 }$$

• Gauss Map

$$n:S\to S^2$$

• Gaussian Curvature

$$\boxed{ K(x)=\det Dn(x) }$$

• Fractal Dimension의 기본 scaling relation

$$\boxed{ d= \frac{\ln N}{\ln s} }$$