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Preliminaries

이후의 선형대수학과 다변수 미적분학을 이해하는 데 필요한 기본 개념만 정리합니다.

0.1 Mathematical Notation​

1) Summation​

Summation: 여러 항의 합을 간결하게 나타내는 표기법.

∑k=1nak=a1+a2+⋯+an\sum_{k=1}^{n} a_k = a_1+a_2+\cdots+a_n

Meaning: 인덱스 kk가 11부터 nn까지 변하면서 각 항을 더한다.

2) Product​

Product: 여러 항의 곱을 나타내는 표기법.

∏k=1nak=a1a2⋯an\prod_{k=1}^{n} a_k = a_1a_2\cdots a_n

Meaning: 인덱스 범위에 있는 모든 항을 곱한다.

0.2 Quantifiers and Negation​

1) Universal Quantifier​

Universal Quantifier:

∀x\forall x

Meaning: 모든 xx에 대하여.

2) Existential Quantifier​

Existential Quantifier:

∃x\exists x

Meaning: 조건을 만족하는 xx가 적어도 하나 존재한다.

3) Negation​

Quantifier를 부정하면 서로 바뀐다.

¬(∀x P(x))  ⟺  ∃x ¬P(x)\neg(\forall x\,P(x)) \iff \exists x\,\neg P(x) ¬(∃x P(x))  ⟺  ∀x ¬P(x)\neg(\exists x\,P(x)) \iff \forall x\,\neg P(x)

Meaning: "모두 참"의 반대는 "하나라도 거짓"이고, "하나라도 존재"의 반대는 "모두 존재하지 않음"이다.

4) Order of Quantifiers​

Quantifier의 순서는 의미를 바꾼다.

∀x ∃y\forall x\,\exists y

와

∃y ∀x\exists y\,\forall x

는 일반적으로 서로 다른 명제이다.

0.3 Set Theory​

1) Element​

x∈Ax\in A

Meaning: xx가 집합 AA의 원소이다.

2) Subset​

A⊂BA\subset B

Meaning: AA의 모든 원소가 BB에도 속한다.

3) Intersection​

A∩BA\cap B

Meaning: AA와 BB에 모두 속하는 원소들의 집합.

4) Union​

A∪BA\cup B

Meaning: AA 또는 BB에 속하는 원소들의 집합.

5) Cartesian Product​

A×B={(a,b)∣a∈A, b∈B}A\times B = \{(a,b)\mid a\in A,\ b\in B\}

Meaning: 두 집합의 원소로 만든 순서쌍들의 집합.

6) Empty Set​

∅\varnothing

Meaning: 원소가 하나도 없는 집합.

7) Standard Number Sets​

N\mathbb{N}

Natural numbers.

Z\mathbb{Z}

Integers.

Q\mathbb{Q}

Rational numbers.

R\mathbb{R}

Real numbers.

C\mathbb{C}

Complex numbers.

8) Cartesian Space​

Rn=R×⋯×R⏟n times\mathbb{R}^n = \underbrace{ \mathbb{R}\times\cdots\times\mathbb{R} }_{n\text{ times}}

Meaning: nn개의 실수로 이루어진 순서쌍의 공간.

0.4 Functions​

1) Function​

Function: 정의역의 각 원소에 공역의 정확히 하나의 원소를 대응시키는 mapping.

f:X→Yf:X\to Y
  • XX: domain
  • YY: codomain
  • f(x)f(x): value

2) Image​

Image: 함수가 실제로 만들어 내는 값들의 집합.

f(X)={f(x)∣x∈X}f(X) = \{f(x)\mid x\in X\}

따라서

f(X)⊂Yf(X)\subset Y

이다.

3) Natural Domain​

Natural Domain: 주어진 식이 실제로 정의되는 모든 입력값의 집합.

예를 들어

f(x)=ln⁡xf(x)=\ln x

의 natural domain은

x>0x>0

이다.

4) One-to-One​

One-to-One / Injective: 서로 다른 입력이 같은 출력으로 가지 않는 함수.

f(x1)=f(x2)⇒x1=x2f(x_1)=f(x_2) \Rightarrow x_1=x_2

Meaning: 방정식 f(x)=yf(x)=y의 해가 최대 하나이다.

5) Onto​

Onto / Surjective: 공역의 모든 원소가 함수의 출력으로 나타나는 함수.

∀y∈Y,∃x∈X such that f(x)=y\forall y\in Y,\quad \exists x\in X \text{ such that } f(x)=y

Meaning: 모든 yy에 대해 f(x)=yf(x)=y의 해가 존재한다.

6) Invertible Function​

Invertible / Bijective: one-to-one이면서 onto인 함수.

이때 inverse function이 존재한다.

f−1:Y→Xf^{-1}:Y\to X

7) Inverse Image​

집합 C⊂YC\subset Y에 대해

f−1(C)={x∈X∣f(x)∈C}f^{-1}(C) = \{x\in X\mid f(x)\in C\}

Meaning: CC로 mapping되는 모든 입력의 집합.

8) Composition​

Composition: 두 함수를 연속해서 적용하는 연산.

(f∘g)(x)=f(g(x))(f\circ g)(x) = f(g(x))

Composition은 associative하다.

(f∘g)∘h=f∘(g∘h)(f\circ g)\circ h = f\circ(g\circ h)

0.5 Real Numbers and Convergence​

1) Supremum​

Supremum: 집합의 모든 원소보다 크거나 같은 수 중 가장 작은 값.

sup⁡X\sup X

2) Infimum​

Infimum: 집합의 모든 원소보다 작거나 같은 수 중 가장 큰 값.

inf⁡X\inf X

3) Completeness of Real Numbers​

위로 bounded된 비어 있지 않은 실수 집합은 supremum을 가진다.

마찬가지로 아래로 bounded된 비어 있지 않은 실수 집합은 infimum을 가진다.

Meaning: 실수에서는 수렴하는 극한값이 공간 밖으로 빠져나가지 않는다.

4) Convergent Sequence​

수열 ana_n이 aa로 수렴한다는 것은

∀ϵ>0,∃N\forall\epsilon>0,\quad \exists N

이 존재하여

n>N⇒∣an−a∣<ϵn>N \Rightarrow |a_n-a|<\epsilon

을 만족한다는 뜻이다.

표기:

an→aa_n\to a

5) Series​

Series: 수열의 항들을 더한 것.

∑n=1∞an\sum_{n=1}^{\infty}a_n

Partial sum을

SN=∑n=1NanS_N = \sum_{n=1}^{N}a_n

이라 할 때 SNS_N이 수렴하면 series가 수렴한다.

6) Geometric Series​

∑n=0∞arn=a1−r,∣r∣<1\sum_{n=0}^{\infty}ar^n = \frac{a}{1-r}, \qquad |r|<1

7) Monotone Convergence​

증가하는 실수 수열은 bounded이면 수렴한다.

Meaning: 한 방향으로 움직이면서 일정 범위를 벗어나지 않는 수열은 극한을 가진다.

8) Absolute Convergence​

∑n=1∞∣an∣\sum_{n=1}^{\infty}|a_n|

이 수렴하면

∑n=1∞an\sum_{n=1}^{\infty}a_n

도 수렴한다.

9) Intermediate Value Theorem​

연속함수

f:[a,b]→Rf:[a,b]\to\mathbb{R}

에 대해 cc가 f(a)f(a)와 f(b)f(b) 사이의 값이면 어떤

x0∈[a,b]x_0\in[a,b]

가 존재하여

f(x0)=cf(x_0)=c

가 된다.

Meaning: 연속함수는 중간값을 건너뛸 수 없다.

0.6 Infinite Sets​

1) Countable Set​

Countable: 자연수와 일대일 대응시킬 수 있는 무한집합.

A∼NA\sim\mathbb{N}

2) Uncountable Set​

Uncountable: 자연수로 모든 원소를 나열할 수 없는 집합.

실수 집합

R\mathbb{R}

은 uncountable이다.

Meaning: 모든 무한집합이 같은 크기의 무한을 가지는 것은 아니다.

0.7 Complex Numbers​

1) Complex Number​

복소수는

z=a+bi,a,b∈Rz=a+bi, \qquad a,b\in\mathbb{R}

의 형태이며

i2=−1i^2=-1

이다.

2) Real and Imaginary Parts​

Re⁡(z)=a\operatorname{Re}(z)=a Im⁡(z)=b\operatorname{Im}(z)=b

3) Complex Addition​

(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i(a+bi)+(c+di) = (a+c)+(b+d)i

4) Complex Multiplication​

(a+bi)(c+di)=(ac−bd)+(ad+bc)i(a+bi)(c+di) = (ac-bd)+(ad+bc)i

5) Complex Conjugate​

Complex Conjugate:

z‾=a−bi\overline{z}=a-bi

중요한 관계:

zz‾=a2+b2z\overline{z} = a^2+b^2

6) Modulus​

Modulus: 복소평면에서 원점으로부터의 거리.

∣z∣=a2+b2|z| = \sqrt{a^2+b^2}

또는

∣z∣=zz‾|z| = \sqrt{z\overline{z}}

7) Polar Form​

복소수는

z=r(cos⁡θ+isin⁡θ)z = r(\cos\theta+i\sin\theta)

로 나타낼 수 있다.

여기서

r=∣z∣r=|z|

이고 θ\theta는 argument이다.

8) Multiplication in Polar Form​

z1z2=r1r2(cos⁡(θ1+θ2)+isin⁡(θ1+θ2))z_1z_2 = r_1r_2 \left( \cos(\theta_1+\theta_2) + i\sin(\theta_1+\theta_2) \right)

Meaning: 복소수를 곱하면 크기는 곱해지고 각도는 더해진다.

9) De Moivre's Formula​

(r(cos⁡θ+isin⁡θ))n=rn(cos⁡nθ+isin⁡nθ)\left( r(\cos\theta+i\sin\theta) \right)^n = r^n \left( \cos n\theta+i\sin n\theta \right)

10) Roots of Complex Numbers​

z=r(cos⁡θ+isin⁡θ)z=r(\cos\theta+i\sin\theta)

의 nn제곱근은

r1/n(cos⁡θ+2kπn+isin⁡θ+2kπn),r^{1/n} \left( \cos\frac{\theta+2k\pi}{n} + i\sin\frac{\theta+2k\pi}{n} \right), k=0,…,n−1k=0,\ldots,n-1

이다.

Essential Study Checklist​

반드시 이해해야 할 내용:

  • ∑\sum, ∏\prod 표기
  • ∀\forall, ∃\exists와 negation
  • ∈\in, ⊂\subset, ∩\cap, ∪\cup, ×\times
  • Rn\mathbb{R}^n
  • Domain, Codomain, Image
  • Injective, Surjective, Bijective
  • Inverse Function
  • Function Composition
  • Supremum과 Infimum
  • Sequence와 Convergence
  • Series와 Absolute Convergence
  • Intermediate Value Theorem
  • Complex Number
  • Complex Conjugate
  • Modulus
  • Polar Form
  • De Moivre's Formula