Integration

다변수 함수의 적분을 정의하고, 적분 가능성, 반복적분, 수치적분, determinant와 volume, change of variables, Lebesgue integration의 핵심 개념을 정리합니다.

4.1 Defining the Integral

1) Integration

Integration: 작은 영역에서의 값을 합하여 전체량을 계산하는 과정.

예를 들어 density가

$$\rho(x)$$

이면

$$\int \rho(x)\,dx$$

는 전체 mass를 나타낸다.

다변수에서는

$$f:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}$$

을 작은 $n$-dimensional cubes로 나누어 같은 개념을 확장한다.

2) Indicator Function

집합 $A\subset\mathbb{R}^n$의 indicator function은

$$1_A(x) = \begin{cases} 1,&x\in A,\\ 0,&x\notin A. \end{cases}$$

이다.

Meaning: 영역 자체를 함수로 표현한다.

영역 $A$ 위에서만 적분하고 싶으면

$$\int_A f = \int_{\mathbb{R}^n} f(x)1_A(x)|d^nx|$$

로 생각할 수 있다.

3) Dyadic Cube

level $N$의 dyadic cube는 각 변의 길이가

$$\frac{1}{2^N}$$

인 cube이다.

$n$-dimensional volume은

$$\operatorname{vol}_n C = \frac{1}{2^{nN}}.$$

4) Dyadic Paving

Dyadic Paving: 같은 level $N$에 있는 모든 dyadic cubes의 collection.

표기:

$$D_N(\mathbb{R}^n).$$

Meaning: 공간을 같은 크기의 작은 cubes로 분할한다.

5) Upper and Lower Sums

cube $C$에서

$$M_C(f)=\sup_{x\in C}f(x)$$ $$m_C(f)=\inf_{x\in C}f(x)$$

라 하자.

Nth upper sum:

$$U_N(f) = \sum_{C\in D_N} M_C(f)\operatorname{vol}_nC.$$

Nth lower sum:

$$L_N(f) = \sum_{C\in D_N} m_C(f)\operatorname{vol}_nC.$$

resolution이 증가하면

$$U_N(f)$$

는 nonincreasing하고

$$L_N(f)$$

는 nondecreasing한다.

6) Upper and Lower Integrals

$$U(f) = \lim_{N\to\infty}U_N(f)$$ $$L(f) = \lim_{N\to\infty}L_N(f).$$

7) Riemann Integrable Function

bounded이고 bounded support를 가지는 함수 $f$가

$$U(f)=L(f)$$

를 만족하면 integrable이다.

그 공통값을 integral로 정의한다.

$$\boxed{ \int_{\mathbb{R}^n} f(x)|d^nx| = U(f) = L(f) }$$

8) Riemann Sum

$f$가 integrable이면 각 cube $C$에서 임의의 sample point

$$x_C\in C$$

를 선택하여

$$\sum_C f(x_C)\operatorname{vol}_nC$$

을 계산할 수 있다.

paving이 충분히 fine해지면

$$\sum_C f(x_C)\operatorname{vol}_nC \to \int_{\mathbb{R}^n}f(x)|d^nx|.$$

Meaning: 실제 계산에서는 supremum과 infimum 대신 sample values를 사용할 수 있다.

9) Volume

집합 $A$의 volume은 indicator function의 integral로 정의한다.

$$\boxed{ \operatorname{vol}_nA = \int_{\mathbb{R}^n} 1_A(x)|d^nx| }$$

10) Pavable Set

Pavable Set: indicator function이 integrable하여 volume이 잘 정의되는 집합.

$$A\text{ pavable} \iff 1_A\text{ integrable}.$$

---

4.2 Probability and Centers of Gravity

1) Mass

영역 $A$의 density가

$$\mu:A\to\mathbb{R}$$

이면 mass는

$$\boxed{ M(A) = \int_A \mu(x)|d^nx| }$$

이다.

2) Center of Gravity

center of gravity의 $i$번째 coordinate는

$$\boxed{ \bar{x}_i = \frac{ \displaystyle\int_A x_i\mu(x)|d^nx| }{ M(A) } }$$

이다.

Meaning: density로 weighted된 coordinate의 average이다.

density가 constant이면

$$\bar{x}_i = \frac{ \displaystyle\int_A x_i|d^nx| }{ \operatorname{vol}_nA }.$$

3) Probability Density

Probability Density: nonnegative integrable function

$$\mu:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}$$

가 모든 event $A$에 대해

$$\boxed{ P(A) = \int_A \mu(x)|d^nx| }$$

를 만족하면 $\mu$를 probability density라고 한다.

따라서

$$\mu(x)\geq0$$

이고

$$\boxed{ \int_{\mathbb{R}^n} \mu(x)|d^nx| = 1 }$$

이다.

4) Expected Value

random variable $f$의 expected value는

$$\boxed{ E(f) = \int_S f(x)\mu(x)|d^nx| }$$

이다.

5) Variance

$$\boxed{ \operatorname{Var}(f) = E(f^2)-E(f)^2 }$$

6) Standard Deviation

$$\boxed{ \sigma(f) = \sqrt{\operatorname{Var}(f)} }$$

7) Covariance

$$\operatorname{cov}(f,g) = E(fg)-E(f)E(g).$$

8) Normal Distribution

standard normal probability density는

$$\boxed{ \mu(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-x^2/2} }$$

이다.

책에서 기억할 대표적인 범위는 대략

• $68\%$: mean에서 $1\sigma$ 이내
• $95\%$: mean에서 $2\sigma$ 이내
• $99\%$: mean에서 약 $2.5\sigma$ 이내

이다.

---

4.3 What Functions Can Be Integrated?

1) Integrability

모든 함수가 Riemann integrable한 것은 아니다.

Riemann integral에서는 기본적으로

• bounded function
• bounded support

를 먼저 가정한다.

2) Continuous Functions

$f:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}$이 continuous이고 bounded support를 가지면 integrable이다.

$$\boxed{ f\text{ continuous with bounded support} \Rightarrow f\text{ integrable} }$$

3) Discontinuities

함수가 모든 곳에서 continuous일 필요는 없다.

discontinuity가 충분히 작은 집합에만 존재하면 integrable할 수 있다.

특히 bounded support를 가지며 volume $0$인 집합을 제외하고 continuous이면 integrable이다.

4) Oscillation

집합 $C$ 위에서 함수의 oscillation은

$$\operatorname{osc}_C(f) = \sup_C f-\inf_C f.$$

Meaning: 해당 영역에서 함수가 얼마나 많이 변하는지를 나타낸다.

integrability는 충분히 작은 cubes에서 전체 oscillation의 영향이 작아지는 것과 연결된다.

---

4.4 Measure Zero

1) Measure Zero

집합

$$X\subset\mathbb{R}^n$$

이 Measure Zero라는 것은 모든

$$\epsilon>0$$

에 대해 open boxes

$$B_1,B_2,\ldots$$

가 존재하여

$$X \subset \bigcup_{i=1}^{\infty}B_i$$

이고

$$\boxed{ \sum_{i=1}^{\infty} \operatorname{vol}_n(B_i) \leq \epsilon }$$

이 되도록 할 수 있다는 뜻이다.

Meaning: 집합을 임의로 작은 total volume의 boxes로 덮을 수 있다.

2) Almost Everywhere

Almost Everywhere, abbreviated a.e., 는

except on a set of measure zero

라는 뜻이다.

3) Countable Union

measure-zero sets

$$A_1,A_2,\ldots$$

의 countable union도 measure zero이다.

$$A_i\text{ measure zero} \Rightarrow \bigcup_{i=1}^{\infty}A_i \text{ measure zero}.$$

4) Riemann Integrability Criterion

bounded이고 bounded support를 가진 함수 $f$에 대해

$$\boxed{ f\text{ is Riemann integrable} \iff f\text{ is continuous almost everywhere} }$$

이다.

즉, discontinuity set이 measure zero이면 된다.

Meaning: Riemann integral은 measure-zero 집합 위의 discontinuities에는 영향을 받지 않는다.

---

4.5 Fubini's Theorem and Iterated Integrals

1) Fubini's Theorem

multiple integral을 one-dimensional integrals의 반복으로 계산할 수 있다.

예를 들어

$$f:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}$$

에 대해 적절한 조건 아래

$$\boxed{ \int_{\mathbb{R}^n} f(x)|d^nx| = \int_{-\infty}^{\infty} \cdots \int_{-\infty}^{\infty} f(x_1,\ldots,x_n) \,dx_1\cdots dx_n }$$

이다.

2) Two Dimensions

$$\boxed{ \iint_A f(x,y)\,dx\,dy }$$

를

$$\int \left( \int f(x,y)\,dx \right) dy$$

또는

$$\int \left( \int f(x,y)\,dy \right) dx$$

형태로 계산할 수 있다.

3) Order of Integration

적절한 조건에서는 integration order를 바꿀 수 있다.

$$\int \left( \int f(x,y)\,dx \right)dy = \int \left( \int f(x,y)\,dy \right)dx.$$

Meaning: 계산하기 쉬운 순서를 선택할 수 있다.

4) Setting Up Iterated Integrals

계산은 inside-out으로 하지만 integration region을 설정할 때는 outside-in으로 생각하는 것이 유용하다.

예를 들어 영역

$$A= \{ (x,y) \mid a\leq y\leq b,\; g_1(y)\leq x\leq g_2(y) \}$$

에서는

$$\int_a^b \int_{g_1(y)}^{g_2(y)} f(x,y)\,dx\,dy$$

로 표현한다.

---

4.6 Numerical Methods of Integration

1) Numerical Integration

antiderivative를 정확히 구하기 어려운 경우 function values를 sampling하여 integral을 approximation한다.

일반적인 형태는

$$\boxed{ \int_a^b f(x)\,dx \approx \sum_i w_i f(p_i) }$$

이다.

여기서

• $p_i$: sample points
• $w_i$: weights

이다.

2) Simpson's Rule

interval $[a,b]$를 $2n$개의 equal intervals로 나누고

$$x_0,\ldots,x_{2n}$$

에서 function을 평가한다.

Simpson approximation은

$$\boxed{ S_n(f) = \frac{b-a}{6n} \left[ f(x_0) + 4f(x_1) + 2f(x_2) +\cdots+ 4f(x_{2n-1}) + f(x_{2n}) \right] }$$

이다.

weights는

$$1,4,2,4,\ldots,2,4,1$$

의 pattern을 가진다.

Simpson's rule은 cubic polynomial을 exactly integrate하도록 만들어져 있다.

3) Product Rule

one-dimensional numerical integration rule

$$\int_a^b f(x)\,dx \approx \sum_i w_i f(p_i)$$

은 higher dimensions에서 product rule로 확장된다.

예를 들어

$$[a,b]^n$$

에서는

$$\boxed{ \int_{[a,b]^n} f(x)|d^nx| \approx \sum_{i_1,\ldots,i_n} w_{i_1}\cdots w_{i_n} f \begin{pmatrix} p_{i_1}\\ \vdots\\ p_{i_n} \end{pmatrix} }$$

이다.

4) Curse of Dimensionality

각 coordinate에서 $k$개의 points를 사용하면 $n$ dimensions에서는

$$k^n$$

개의 function evaluations가 필요하다.

Meaning: deterministic product rules는 dimension이 증가하면 계산량이 매우 빠르게 증가한다.

5) Monte Carlo Method

high-dimensional integral에서는 random sampling을 사용할 수 있다.

영역 $A$에서 uniformly random points

$$x_1,\ldots,x_N$$

을 선택하고

$$a_i=f(x_i)$$

를 계산한다.

sample mean:

$$\boxed{ \bar a = \frac1N \sum_{i=1}^N a_i }$$

sample variance:

$$\boxed{ s^2 = \frac1N \sum_{i=1}^N (a_i-\bar a)^2 }$$

이다.

uniform probability에서는

$$E(f) = \frac{ \displaystyle\int_A f(x)|d^nx| }{ \operatorname{vol}_nA }.$$

따라서

$$\boxed{ \int_A f(x)|d^nx| \approx \operatorname{vol}_n(A)\bar a }$$

이다.

Meaning: Monte Carlo는 높은 dimension에서 product rule보다 유리할 수 있다.

---

4.7 Other Pavings

1) Limitation of Dyadic Pavings

dyadic paving은 이론을 만들기에는 편리하지만 모든 cubes가 같은 구조로 계속 나뉜다.

따라서 함수가 빠르게 변하는 곳에 더 작은 pieces를 배치하고, 천천히 변하는 곳에는 큰 pieces를 사용하는 것이 어렵다.

2) General Pavings

integration은 dyadic cubes에만 의존하지 않는다.

적절한 general paving을 사용하여 domain을 분할할 수 있다.

Meaning: integral 자체는 특정 grid의 선택에 의존하지 않는다.

3) Adaptive Idea

함수가 빠르게 변화하는 영역에서는 small paving pieces를 사용하고, 변화가 적은 영역에서는 larger pieces를 사용할 수 있다.

이 flexibility는 이후 change of variables를 이해하는 데 중요하다.

---

4.8 Determinants

1) Determinant

$n$개의 vectors

$$v_1,\ldots,v_n\in\mathbb{R}^n$$

을 입력받는 determinant는 다음 세 properties로 특징지어진다.

Multilinearity

각 argument에 대해 linear하다.

Antisymmetry

두 vectors를 교환하면 sign이 바뀐다.

$$\det(\ldots,v_i,\ldots,v_j,\ldots) = - \det(\ldots,v_j,\ldots,v_i,\ldots).$$

Normalization

$$\boxed{ \det(e_1,\ldots,e_n)=1 }$$

이다.

Matrix

$$A=[v_1,\ldots,v_n]$$

에 대해

$$\det A = \det(v_1,\ldots,v_n).$$

2) Equal Columns

두 columns가 같으면

$$\det A=0.$$

3) Product Rule

$$\boxed{ \det(AB) = \det(A)\det(B) }$$

이다.

4) Invertibility

$$\boxed{ A\text{ invertible} \iff \det A\neq0 }$$

이다.

5) Transpose

$$\boxed{ \det(A^T)=\det A }$$

이다.

6) Triangular Matrix

triangular matrix에서는 determinant가 diagonal entries의 product이다.

$$\boxed{ \det A = a_{11}a_{22}\cdots a_{nn} }$$

7) Orthogonal Matrix

orthogonal matrix $Q$에서는

$$Q^TQ=I.$$

따라서

$$(\det Q)^2=1$$

이고

$$\boxed{ \det Q=\pm1 }$$

이다.

8) Determinant and Eigenvalues

matrix $A$의 eigenvalues를 multiplicity를 포함하여

$$\lambda_1,\ldots,\lambda_n$$

이라고 하면

$$\boxed{ \det A = \lambda_1\cdots\lambda_n }$$

이다.

9) Trace

trace는 diagonal entries의 sum이다.

$$\boxed{ \operatorname{tr}A = \sum_{i=1}^{n}a_{ii} }$$

책에서는 determinant의 derivative와 trace의 관계도 다룬다.

특히

$$[D\det(I)]B = \operatorname{tr}B.$$

---

4.9 Volumes and Determinants

1) Determinant as Volume Scaling

Linear transformation

$$T:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^n$$

에 대해

$$\boxed{ \operatorname{vol}_n(T(A)) = |\det[T]| \operatorname{vol}_n(A) }$$

이다.

Meaning: $|\det T|$는 linear transformation에 의한 volume scaling factor이다.

2) Geometric Interpretation

$$|\det T|>1$$

이면 volume이 확대되고,

$$0<|\det T|<1$$

이면 volume이 축소된다.

$$\det T=0$$

이면 dimension이 collapse되어 $n$-dimensional volume은 $0$이 된다.

3) Orthogonal Transformations

orthogonal transformation에서는

$$|\det Q|=1.$$

따라서

$$\boxed{ \operatorname{vol}_n(Q(A)) = \operatorname{vol}_n(A) }$$

이다.

Meaning: rotation과 reflection은 volume을 보존한다.

4) Determinant and Orientation

absolute value

$$|\det T|$$

는 volume scaling을 나타내며 determinant의 sign은 orientation과 연결된다.

이 개념은 Chapter 6의 differential forms에서 다시 사용된다.

---

4.10 The Change of Variables Formula

1) Change of Variables

복잡한 영역의 integral을 더 단순한 coordinate system에서 계산한다.

mapping

$$\phi:U\to V$$

를 사용한다.

2) Local Linear Approximation

작은 영역에서

$$\phi(x+h) \approx \phi(x)+D\phi(x)h.$$

따라서 작은 volume은 derivative에 의해 approximately

$$|\det D\phi(x)|$$

배 scale된다.

3) Jacobian Determinant

Jacobian Determinant:

$$\boxed{ J_\phi(x) = \det D\phi(x) }$$

Meaning: coordinate transformation이 local volume을 얼마나 확대 또는 축소시키는지를 나타낸다.

4) Change of Variables Formula

적절한 regularity와 invertibility 조건 아래

$$\boxed{ \int_V f(y)|d^ny| = \int_U f(\phi(x)) \left| \det D\phi(x) \right| |d^nx| }$$

이다.

5) Why the Absolute Value?

determinant의 sign은 orientation을 나타내지만 ordinary volume은 nonnegative이므로

$$|\det D\phi|$$

를 사용한다.

6) Polar Coordinates

$$\phi(r,\theta) = \begin{pmatrix} r\cos\theta\\ r\sin\theta \end{pmatrix}.$$

Derivative는

$$D\phi = \begin{bmatrix} \cos\theta&-r\sin\theta\\ \sin\theta&r\cos\theta \end{bmatrix}.$$

따라서

$$\boxed{ |\det D\phi|=r }$$

이다.

그래서

$$\boxed{ dx\,dy = r\,dr\,d\theta }$$

가 된다.

Meaning: polar-coordinate integral에 나타나는 $r$은 임의로 붙는 것이 아니라 local area scaling factor이다.

---

4.11 Lebesgue Integrals

1) Limitation of the Riemann Integral

이 장 앞부분의 Riemann integral은 기본적으로

• bounded functions
• bounded support

를 중심으로 정의된다.

그러나 실제 문제에서는

• unbounded domain
• unbounded function
• limits of functions

을 다루어야 한다.

이를 위해 Lebesgue integration을 도입한다.

2) Lebesgue Equality

두 functions가 measure-zero set을 제외하고 같으면 Lebesgue의 의미에서 같은 것으로 취급한다.

$$\boxed{ f=g \quad\text{a.e.} }$$

Meaning: measure-zero set에서의 값은 Lebesgue integral에 영향을 주지 않는다.

3) L-Integrable Function

책에서는 Lebesgue-integrable function을 Riemann-integrable functions의 absolutely integrable series로 구성한다.

즉,

$$f = \sum_{k=1}^{\infty}f_k \quad\text{a.e.}$$

이고 각 $f_k$가 Riemann integrable이며

$$\boxed{ \sum_{k=1}^{\infty} \int_{\mathbb{R}^n} |f_k(x)||d^nx| < \infty }$$

이면 $f$를 L-integrable하게 다룬다.

Lebesgue integral은

$$\boxed{ \int f = \sum_{k=1}^{\infty} \int f_k }$$

로 정의된다.

4) Relation to Riemann Integration

Riemann integrable function은 모두 Lebesgue integrable이며 두 integrals는 같다.

$$\boxed{ f\text{ R-integrable} \Rightarrow f\text{ L-integrable} }$$

그리고

$$\int_R f = \int_L f.$$

5) Measure-Zero Sets

measure-zero set에서 function 값을 변경해도 Lebesgue integral은 변하지 않는다.

예를 들어 rational numbers의 indicator function은

$$1_{\mathbb Q}(x) = \begin{cases} 1,&x\in\mathbb Q,\\ 0,&x\notin\mathbb Q \end{cases}$$

이지만

$$1_{\mathbb Q}=0 \quad\text{a.e.}$$

이므로 Lebesgue integral은

$$0$$

이다.

6) Infinite Series and Integration

적절한 absolute integrability 조건 아래

$$\boxed{ \int \sum_{k=1}^{\infty}f_k = \sum_{k=1}^{\infty} \int f_k }$$

이다.

7) Monotone Convergence

nonnegative L-integrable functions가 monotone하게 limit function으로 증가하는 경우 적절한 조건 아래

$$\boxed{ \int \lim_{k\to\infty}f_k = \lim_{k\to\infty} \int f_k }$$

로 limit과 integral을 교환할 수 있다.

8) Dominated Convergence Theorem

L-integrable functions $f_k$가

$$f_k(x)\to f(x)$$

almost everywhere이고 어떤 L-integrable function $F$가 존재하여

$$|f_k(x)|\leq F(x)$$

almost everywhere이면

$$f$$

도 L-integrable이고

$$\boxed{ \int f = \lim_{k\to\infty} \int f_k }$$

이다.

Meaning: 적절한 dominating function이 있으면 limit과 integral의 순서를 바꿀 수 있다.

9) Fubini for Lebesgue Integrals

L-integrable function에 대해서도 iterated integration이 가능하다.

$$\boxed{ \int_{\mathbb{R}^{n+m}} f(x,y)|d^nx||d^my| = \int_{\mathbb{R}^m} \left( \int_{\mathbb{R}^n} f(x,y)|d^nx| \right) |d^my| }$$

이다.

10) Change of Variables for Lebesgue Integrals

Lebesgue integral에서도

$$\boxed{ \int_V f(v)|d^nv| = \int_U f(\phi(u)) |\det D\phi(u)| |d^nu| }$$

형태의 change of variables formula가 성립한다.

---

Essential Study Checklist

반드시 이해해야 할 내용:

• Indicator Function

$$1_A$$

• Dyadic Paving
• Upper Sum / Lower Sum

$$U_N(f),\quad L_N(f)$$

• Riemann Integrability

$$\boxed{ U(f)=L(f) }$$

• Riemann Sum
• Volume as an Integral

$$\boxed{ \operatorname{vol}_nA = \int1_A|d^nx| }$$

• Pavable Set
• Mass

$$M(A) = \int_A\mu(x)|d^nx|$$

• Center of Gravity
• Probability Density

$$P(A) = \int_A\mu(x)|d^nx|$$

• Expected Value

$$E(f) = \int f\mu$$

• Measure Zero
• Almost Everywhere
• Riemann Integrability Criterion

$$\boxed{ f\text{ integrable} \iff f\text{ continuous a.e.} }$$

for bounded functions with bounded support.

• Fubini's Theorem
• Iterated Integrals
• Simpson's Rule
• Product Rules
• Monte Carlo Method
• Determinant의 세 핵심 properties
  • Multilinear
  • Antisymmetric
  • Normalized
• Determinant Product Rule

$$\boxed{ \det(AB)=\det A\det B }$$

• Invertibility

$$\boxed{ A^{-1}\text{ exists} \iff \det A\neq0 }$$

• Determinant as Volume Scaling

$$\boxed{ \operatorname{vol}(T(A)) = |\det T|\operatorname{vol}(A) }$$

• Jacobian Determinant

$$\boxed{ J_\phi = \det D\phi }$$

• Change of Variables

$$\boxed{ \int_V f = \int_U (f\circ\phi) |\det D\phi| }$$

• Polar Coordinate Jacobian

$$\boxed{ dx\,dy=r\,dr\,d\theta }$$

• Riemann Integral과 Lebesgue Integral의 차이
• Almost Everywhere Equality
• Lebesgue Integrability
• Dominated Convergence Theorem

$$\boxed{ \int\lim f_k = \lim\int f_k }$$

under the domination condition.