Forms and Vector Calculus

Differential form, orientation, exterior derivative와 Stokes's theorem을 이용하여 vector calculus의 grad, curl, div와 여러 integral theorem을 하나의 구조로 통합하여 정리합니다.

6.1 Forms on $\mathbb{R}^n$

1) $k$-Form

$k$-Form: $\mathbb{R}^n$의 $k$개의 vectors를 입력받아 하나의 real number를 반환하는 multilinear, alternating function.

$$\omega: (\mathbb{R}^n)^k \to \mathbb{R}.$$

Multilinearity는 각 vector에 대해 linear하다는 뜻이다.

Alternating property는 두 vectors를 바꾸면 sign이 바뀐다는 뜻이다.

$$\omega(\ldots,v_i,\ldots,v_j,\ldots) = - \omega(\ldots,v_j,\ldots,v_i,\ldots).$$

따라서 같은 vector가 두 번 들어가면

$$\omega(\ldots,v,\ldots,v,\ldots) = 0.$$

Meaning: $k$-form은 방향이 있는 $k$-dimensional piece의 크기를 측정하는 도구이다.

2) $0$-Form

$0$-form은 단순한 real number이다.

$0$-form field는 function이다.

3) Elementary $1$-Forms

standard coordinate functions에 대응하는 기본 $1$-forms는

$$dx_1,\ldots,dx_n$$

이다.

vector

$$v= \begin{bmatrix} v_1\\ \vdots\\ v_n \end{bmatrix}$$

에 대해

$$dx_i(v)=v_i.$$

4) Elementary $k$-Forms

기본 $k$-forms는

$$dx_{i_1}\wedge\cdots\wedge dx_{i_k}, \qquad i_1<\cdots<i_k$$

이다.

모든 $k$-form은 unique하게

$$\boxed{ \omega = \sum_{i_1<\cdots<i_k} a_{i_1\cdots i_k} dx_{i_1}\wedge\cdots\wedge dx_{i_k} }$$

로 표현할 수 있다.

따라서 elementary $k$-forms는 $k$-form space의 basis이다.

5) Wedge Product

Wedge Product: $k$-form과 $l$-form을 결합하여 $(k+l)$-form을 만드는 연산.

$$\omega\wedge\eta.$$

핵심 properties:

Distributivity

$$\omega\wedge(\eta+\mu) = \omega\wedge\eta + \omega\wedge\mu.$$

Associativity

$$(\omega\wedge\eta)\wedge\mu = \omega\wedge(\eta\wedge\mu).$$

Skew Commutativity

$\omega$가 $k$-form이고 $\eta$가 $l$-form이면

$$\boxed{ \omega\wedge\eta = (-1)^{kl} \eta\wedge\omega }$$

이다.

특히 $1$-forms에서는

$$dx_i\wedge dx_j = - dx_j\wedge dx_i.$$

따라서

$$dx_i\wedge dx_i=0.$$

6) $k$-Form Field

$k$-Form Field / Differential Form: 공간의 각 point에 하나의 $k$-form을 대응시키는 field.

$$\omega: U \to A^k_{\mathrm{const}}(\mathbb{R}^n).$$

일반적으로

$$\boxed{ \omega = \sum_{i_1<\cdots<i_k} a_{i_1\cdots i_k}(x) dx_{i_1}\wedge\cdots\wedge dx_{i_k} }$$

로 쓴다.

Meaning: vector field가 각 point에 vector를 붙이는 것처럼 differential form은 각 point에 form을 붙인다.

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6.2 Integrating Form Fields over Parametrized Domains

1) Parametrized Domain

bounded domain

$$U\subset\mathbb{R}^k$$

와 $C^1$ mapping

$$\phi:U\to\mathbb{R}^n$$

의 pair를 parametrized domain으로 생각한다.

표기:

$$[\phi(U)].$$

parametrization 자체에 orientation 정보가 포함되어 있다.

2) Integral of a $k$-Form

$k$-form field $\omega$에 대해

$$\boxed{ \int_{[\phi(U)]}\omega = \int_U \omega_{\phi(u)} \left( D_1\phi(u), \ldots, D_k\phi(u) \right) |d^ku| }$$

이다.

Meaning: manifold의 tangent directions를 form에 넣어 얻은 값을 parameter domain에서 적분한다.

3) Dependence on Orientation

volume integral과 달리 form의 integral은 orientation에 의존한다.

orientation을 반대로 하면

$$\boxed{ \int_{-M}\omega = - \int_M\omega }$$

이다.

Meaning: 같은 curve나 surface라도 진행 방향이 반대이면 form integral의 sign이 바뀐다.

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6.3 Orientation of Manifolds

1) Orientation of a Vector Space

ordered basis

$$(v_1,\ldots,v_k)$$

들은 두 orientation classes로 나뉜다.

두 bases 사이의 change-of-basis matrix의 determinant가 positive이면 같은 orientation이다.

$$\det P>0.$$

negative이면 opposite orientation이다.

$$\det P<0.$$

2) Orientation of a Manifold

Orientation of a Manifold: 각 point $x\in M$에서 tangent space

$$T_xM$$

의 orientation을 continuously 선택하는 것.

즉,

$$\Omega_x: B(T_xM)\to\{+1,-1\}.$$

3) Oriented Curve

curve에서는 nonzero tangent vector field가 orientation을 결정한다.

Meaning: curve에서 orientation은 진행 방향이다.

4) Oriented Surface

surface $S\subset\mathbb{R}^3$에서는 continuous nonzero normal vector field

$$n(x)$$

를 선택하면 orientation이 결정된다.

Meaning: surface orientation은 두 normal directions 중 하나를 선택하는 것이다.

5) Orientability

모든 manifold가 orientable한 것은 아니다.

orientation을 전체 manifold에서 continuously 선택할 수 있어야 orientable하다.

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6.4 Integrating Forms over Oriented Manifolds

1) Orientation-Preserving Linear Transformation

$$T:\mathbb{R}^k\to V$$

가 orientation을 보존하려면

$$T(e_1),\ldots,T(e_k)$$

가 $V$의 positive basis여야 한다.

2) Orientation-Preserving Parametrization

parametrization

$$\phi:U\to M$$

가 orientation preserving이라는 것은

$$D\phi(u)$$

가 모든 regular point에서 orientation preserving이라는 뜻이다.

Meaning: nonlinear parametrization의 orientation도 derivative를 통해 판단한다.

3) Integral over an Oriented Manifold

orientation-preserving parametrization $\phi$를 사용하면

$$\boxed{ \int_M\omega = \int_U \omega_{\phi(u)} \left( D_1\phi(u), \ldots, D_k\phi(u) \right) |d^ku| }$$

이다.

이 값은 orientation-preserving parametrization의 선택에 의존하지 않는다.

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6.5 Forms in the Language of Vector Calculus

$\mathbb{R}^3$에서는 differential forms를 익숙한 functions와 vector fields로 해석할 수 있다.

1) $0$-Form

$0$-form field는 function이다.

$$f:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}.$$

2) Work Form

vector field

$$F= \begin{bmatrix} F_1\\ F_2\\ F_3 \end{bmatrix}$$

의 Work Form은

$$\boxed{ W_F = F_1\,dx + F_2\,dy + F_3\,dz }$$

이다.

vector $v$에 대해

$$W_F(v)=F\cdot v.$$

Meaning: vector field가 displacement 방향으로 하는 work를 측정한다.

curve $C$에서는

$$\int_CW_F$$

가 vector field의 line integral이다.

3) Flux Form

vector field $F$의 Flux Form은

$$\boxed{ \Phi_F = F_1\,dy\wedge dz - F_2\,dx\wedge dz + F_3\,dx\wedge dy }$$

이다.

또는

$$\Phi_F = F_1\,dy\wedge dz + F_2\,dz\wedge dx + F_3\,dx\wedge dy.$$

일반적인 $\mathbb{R}^n$에서는

$$\Phi_F(v_1,\ldots,v_{n-1}) = \det[F,v_1,\ldots,v_{n-1}].$$

Meaning: oriented surface를 통과하는 vector field의 flow를 측정한다.

4) Mass Form

function $f$에 대응하는 Mass Form은

$$\boxed{ M_f = f\,dx\wedge dy\wedge dz }$$

이다.

Meaning: density와 volume을 결합하는 $3$-form이다.

5) Forms and Vector Calculus in $\mathbb{R}^3$

$$\begin{array}{c|c} \text{Form} & \text{Vector Calculus Interpretation}\\ \hline 0\text{-form} & \text{function}\\ 1\text{-form} & \text{vector field via work}\\ 2\text{-form} & \text{vector field via flux}\\ 3\text{-form} & \text{function via mass} \end{array}$$

이 대응은 $\mathbb{R}^3$에서 특별히 잘 작동한다.

Higher dimensions에서는 모든 forms를 functions나 vector fields로 표현할 수 없다.

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6.6 Boundary Orientation

1) Piece-with-Boundary

Piece-with-Boundary: manifold에서 inequality 등을 이용하여 잘라낸 boundary를 가진 영역.

예:

• interval의 boundary: endpoints
• surface patch의 boundary: curves
• solid region의 boundary: surfaces

2) Outward Vector

$x\in\partial X$에서

$$v_{\mathrm{out}}$$

은 boundary에 tangent하지 않으면서 $X$의 바깥 방향을 향하는 vector이다.

3) Boundary Orientation

$X$가 oriented $k$-dimensional manifold의 piece-with-boundary이면 $\partial X$의 orientation은 다음 규칙으로 결정한다.

$$\boxed{ (v_{\mathrm{out}},v_1,\ldots,v_{k-1}) }$$

가 $X$의 positive orientation이면

$$(v_1,\ldots,v_{k-1})$$

가 boundary의 positive orientation이다.

Meaning: outward direction을 먼저 놓았을 때 전체 orientation과 일치하도록 boundary 방향을 정한다.

4) Surface in $\mathbb{R}^3$

surface가 normal $n$으로 oriented되어 있을 때 boundary curve를 따라 걸으면, 올바른 boundary orientation에서는 surface가 왼쪽에 놓인다.

5) Solid Region in $\mathbb{R}^3$

standard orientation을 가진 solid region의 boundary orientation은 outward-pointing normal에 해당한다.

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6.7 The Exterior Derivative

1) Exterior Derivative

Exterior derivative는 $k$-form field를 $(k+1)$-form field로 바꾸는 operation이다.

$$\boxed{ d: A^k(U) \to A^{k+1}(U) }$$

Meaning: ordinary derivative를 differential forms 전체로 확장한 것이다.

2) Exterior Derivative of a Function

$0$-form $f$에 대해

$$\boxed{ df = \sum_{i=1}^{n} D_if\,dx_i }$$

이다.

이는 기존 derivative

$$Df$$

와 같은 정보를 가진다.

3) Coordinate Formula

$$\omega = \sum_I a_I(x)\,dx_I$$

이면

$$\boxed{ d\omega = \sum_I da_I\wedge dx_I }$$

이다.

여기서

$$dx_I = dx_{i_1}\wedge\cdots\wedge dx_{i_k}.$$

4) Constant Forms

constant form $\omega$에 대해서는

$$d\omega=0.$$

특히

$$d(dx_i)=0.$$

5) Boundary of a Boundary

Exterior derivative의 가장 중요한 property는

$$\boxed{ d(d\omega)=0 }$$

이다.

즉,

$$\boxed{ d^2=0 }$$

이다.

Meaning: 이는 geometric하게

$$\partial(\partial X)=0$$

즉, "boundary of a boundary is zero"라는 사실과 연결된다.

6) Exterior Derivative of a Wedge Product

$\omega$가 $k$-form이면

$$\boxed{ d(\omega\wedge\eta) = d\omega\wedge\eta + (-1)^k \omega\wedge d\eta }$$

이다.

ordinary product rule의 differential-form version이다.

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6.8 Grad, Curl, Div, and All That

Exterior derivative 하나가 $\mathbb{R}^3$의 vector calculus에서는 grad, curl, div 세 가지 operation으로 나타난다.

1) Gradient

function $f$에 대해

$$\nabla f = \begin{bmatrix} D_1f\\ D_2f\\ D_3f \end{bmatrix}.$$

forms에서는

$$\boxed{ df=W_{\nabla f} }$$

이다.

Meaning: gradient는 function의 exterior derivative를 vector field로 해석한 것이다.

2) Geometric Meaning of Gradient

level surface

$$f(x)=c$$

에서

$$\nabla f(x)$$

는 tangent space에 orthogonal하다.

또한 gradient는 $f$가 가장 빠르게 증가하는 방향을 가리킨다.

3) Curl

vector field

$$F= \begin{bmatrix} F_1\\ F_2\\ F_3 \end{bmatrix}$$

의 curl은

$$\boxed{ \operatorname{curl}F = \nabla\times F = \begin{bmatrix} D_2F_3-D_3F_2\\ D_3F_1-D_1F_3\\ D_1F_2-D_2F_1 \end{bmatrix} }$$

이다.

forms에서는

$$\boxed{ dW_F = \Phi_{\operatorname{curl}F} }$$

이다.

Meaning: curl은 vector field의 local rotation을 측정한다.

4) Divergence

$$\boxed{ \operatorname{div}F = \nabla\cdot F = D_1F_1+D_2F_2+D_3F_3 }$$

이다.

forms에서는

$$\boxed{ d\Phi_F = M_{\operatorname{div}F} }$$

이다.

Meaning: divergence는 작은 영역에서 얼마나 많은 flow가 net outward로 빠져나오는지를 측정한다.

5) $d^2=0$ and Vector Identities

$$d(df)=0$$

에서

$$\boxed{ \operatorname{curl}(\nabla f)=0 }$$

를 얻는다.

또한

$$d(dW_F)=0$$

에서

$$\boxed{ \operatorname{div}(\operatorname{curl}F)=0 }$$

을 얻는다.

따라서 두 개의 익숙한 vector identities는 사실 하나의 식

$$\boxed{ d^2=0 }$$

의 서로 다른 표현이다.

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6.9 The Pullback

1) Pullback by a Linear Transformation

linear transformation

$$T:V\to W$$

와 $k$-form $\omega$ on $W$에 대해 pullback은

$$T^*\omega$$

이고

$$\boxed{ (T^*\omega)(v_1,\ldots,v_k) = \omega(Tv_1,\ldots,Tv_k) }$$

이다.

2) Pullback by a Smooth Map

smooth mapping

$$f:U\to V$$

에 대해

$$\boxed{ (f^*\omega)_x(v_1,\ldots,v_k) = \omega_{f(x)} \left( Df(x)v_1,\ldots,Df(x)v_k \right) }$$

이다.

Meaning: codomain의 form을 derivative를 이용하여 domain으로 가져온다.

3) Basic Coordinate Example

$$y=f(x)$$

이면

$$\boxed{ f^*(dy) = df }$$

이다.

이는 elementary calculus에서

$$dy=f'(x)dx$$

라고 쓰는 것의 정확한 의미이다.

4) Pullback and Wedge Product

$$\boxed{ f^*(\omega\wedge\eta) = f^*\omega \wedge f^*\eta }$$

이다.

5) Pullback and Exterior Derivative

가장 중요한 relation은

$$\boxed{ d(f^*\omega) = f^*(d\omega) }$$

이다.

Meaning: coordinate transformation을 먼저 하든 exterior derivative를 먼저 하든 결과가 같다.

6) Pullback and Integration

parametrization $\phi$를 이용한 form integral은 pullback을 사용하여

$$\boxed{ \int_{\phi(U)}\omega = \int_U\phi^*\omega }$$

로 생각할 수 있다.

Pullback은 change of variables의 자연스러운 differential-form version이다.

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6.10 The Generalized Stokes's Theorem

1) Fundamental Theorem of Calculus

ordinary calculus에서

$$\int_a^bf'(x)\,dx = f(b)-f(a)$$

이다.

forms로 쓰면

$$\boxed{ \int_{[a,b]}df = \int_{\partial[a,b]}f }$$

이다.

2) Generalized Stokes's Theorem

$X$가 oriented $k$-dimensional piece-with-boundary이고 $\omega$가 $(k-1)$-form이면

$$\boxed{ \int_{\partial X}\omega = \int_Xd\omega }$$

이다.

Meaning: boundary에서의 integral과 interior에서의 derivative integral이 같다.

이 식이 Chapter 6 전체의 핵심 정리이다.

3) Local to Global

Exterior derivative

$$d\omega$$

는 local information을 나타내고

$$\int_{\partial X}\omega$$

는 boundary 전체의 global information을 나타낸다.

Stokes's theorem은 이 둘을 연결한다.

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6.11 The Integral Theorems of Vector Calculus

소스책에서는 generalized Stokes's theorem의 $\mathbb{R}^2$, $\mathbb{R}^3$ special cases 네 가지를 정리한다.

1) Fundamental Theorem for Line Integrals

$$F=\nabla f$$

이면 curve $C$가 $a$에서 $b$로 갈 때

$$\boxed{ \int_CF\cdot dr = f(b)-f(a) }$$

이다.

Meaning: gradient field에서 work는 path가 아니라 endpoints에만 의존한다.

2) Green's Theorem

plane region $X$와 positively oriented boundary $\partial X$에 대해

$$\boxed{ \oint_{\partial X} P\,dx+Q\,dy = \iint_X \left( D_1Q-D_2P \right) dx\,dy }$$

이다.

3) Stokes's Theorem in $\mathbb{R}^3$

oriented surface $S$와 boundary $\partial S$에 대해

$$\boxed{ \oint_{\partial S} F\cdot dr = \iint_S (\operatorname{curl}F)\cdot N\,dA }$$

이다.

forms에서는 단순히

$$\int_{\partial S}W_F = \int_SdW_F.$$

4) Divergence Theorem

bounded region $X\subset\mathbb{R}^3$의 boundary가 outward orientation을 가지면

$$\boxed{ \iiint_X \operatorname{div}F\,dV = \iint_{\partial X} F\cdot N\,dA }$$

이다.

forms에서는

$$\boxed{ \int_Xd\Phi_F = \int_{\partial X}\Phi_F }$$

이다.

5) One Underlying Theorem

위 네 정리는 각각 다른 정리가 아니라 모두

$$\boxed{ \int_{\partial X}\omega = \int_Xd\omega }$$

의 special case이다.

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6.12 Electromagnetism

이 section의 목적은 differential forms가 higher-dimensional physics에서 자연스러운 언어라는 것을 보여주는 것이다.

1) Lorentz Force

electric field $E$, magnetic field $B$, charge $q$, velocity $v$에 대해 cgs units에서는

$$\boxed{ F = q \left( E+ \frac{v}{c}\times B \right) }$$

이다.

2) Maxwell's Equations

책의 cgs notation에서는

$$-\frac{1}{c}D_tB = \operatorname{curl}E$$ $$\operatorname{div}B = 0$$ $$\frac{1}{c}D_tE = \operatorname{curl}B - \frac{4\pi}{c}j$$ $$\operatorname{div}E = 4\pi\rho.$$

3) Electromagnetic Field as a Form

공간과 시간을 합친 spacetime

$$\mathbb{R}^4$$

에서는 electromagnetic field가 하나의 $2$-form으로 표현된다.

이것이 중요한 이유는 $\mathbb{R}^4$의 $2$-form은 일반적인 vector field 하나로 표현할 수 없기 때문이다.

4) Maxwell's Equations in Forms

책에서는 Maxwell's equations를 differential forms를 이용하여 압축하면 핵심적으로

$$\boxed{ dF=0 }$$

과

$$\boxed{ dM=4\pi J }$$

의 형태로 나타낼 수 있음을 강조한다.

Meaning: 여러 개의 grad, curl, div equations가 exterior derivative를 사용하면 매우 단순한 형태로 통합된다.

5) Conservation of Charge

charge density $\rho$와 current density $j$는 conservation law를 만족한다.

vector notation에서는

$$\boxed{ D_t\rho+\operatorname{div}j=0 }$$

이다.

이는 charge가 임의로 생성되거나 사라지지 않는다는 뜻이다.

6) Electromagnetic Waves

Maxwell's equations에서 electric field와 magnetic field가 wave equation을 만족함을 얻을 수 있다.

결과적으로 wave propagation speed는

$$c$$

가 되며, 이것이 light와 electromagnetic radiation의 연결을 보여준다.

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6.13 Potentials

1) Exact Form

$k$-form $\omega$가 어떤 $(k-1)$-form $\eta$에 대해

$$\boxed{ \omega=d\eta }$$

로 표현되면 $\omega$를 exact하다고 한다.

2) Closed Form

$$\boxed{ d\omega=0 }$$

이면 $\omega$를 closed하다고 한다.

3) Exact Implies Closed

$$\omega=d\eta$$

이면

$$d\omega = d(d\eta) = 0.$$

따라서

$$\boxed{ \text{exact} \Rightarrow \text{closed} }$$

이다.

이는

$$d^2=0$$

의 직접적인 결과이다.

4) Convex Domain

$U$가 convex라는 것은 모든 $x,y\in U$에 대해 두 points를 잇는 line segment가 $U$ 안에 있다는 뜻이다.

5) Star-Shaped Domain

어떤 fixed point $x_0\in U$가 존재하여 모든 $x\in U$에 대해

$$[x_0,x]\subset U$$

이면 $U$는 star-shaped이다.

모든 convex domain은 star-shaped이다.

6) Poincare's Lemma

$U$가 open하고 star-shaped이면

$$\boxed{ d\omega=0 \iff \omega=d\eta }$$

이다.

즉,

$$\boxed{ \text{closed} \iff \text{exact} }$$

on star-shaped domains.

7) Potential Function

$\mathbb{R}^3$의 vector field $F$에 대해

$$F=\nabla f$$

이면 $f$를 potential이라고 한다.

star-shaped domain에서는

$$\boxed{ \operatorname{curl}F=0 \iff F=\nabla f }$$

이다.

Meaning: curl-free vector field는 적절한 domain에서는 potential을 가진다.

8) Path Independence

$$F=\nabla f$$

이면

$$\int_CF\cdot dr$$

은 path에 의존하지 않고 endpoints에만 의존한다.

$$\boxed{ \int_C F\cdot dr = f(b)-f(a) }$$

9) Cone Operator

책에서는 Poincare's lemma를 증명하기 위해 cone operator

$$c: A^k(U) \to A^{k-1}(U)$$

를 도입한다.

closed form $\omega$에 대해 cone operator를 이용하면 potential을 실제로 구성할 수 있다.

핵심 결과는

$$d\omega=0$$

이면

$$\boxed{ d(c\omega)=\omega }$$

라는 것이다.

Meaning: cone operator는 closed form의 potential을 만드는 constructive tool이다.

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Essential Study Checklist

반드시 이해해야 할 내용:

• $k$-Form
• Multilinearity
• Alternating Property
• Elementary Forms

$$dx_{i_1}\wedge\cdots\wedge dx_{i_k}$$

• Wedge Product

$$\boxed{ \omega\wedge\eta = (-1)^{kl} \eta\wedge\omega }$$

• Differential Form / Form Field
• Integral of a Form

$$\boxed{ \int_{[\phi(U)]}\omega = \int_U \omega_{\phi(u)} (D_1\phi,\ldots,D_k\phi) |d^ku| }$$

• Orientation
• Orientation-Preserving Parametrization
• Boundary Orientation
• Work Form

$$\boxed{ W_F = F_1dx+F_2dy+F_3dz }$$

• Flux Form

$$\boxed{ \Phi_F = F_1dy\wedge dz - F_2dx\wedge dz + F_3dx\wedge dy }$$

• Mass Form

$$\boxed{ M_f = f\,dx\wedge dy\wedge dz }$$

• Exterior Derivative

$$\boxed{ d: A^k \to A^{k+1} }$$

• Exterior Derivative of a Function

$$\boxed{ df = \sum_iD_if\,dx_i }$$

• Exterior Derivative of a Wedge Product

$$\boxed{ d(\omega\wedge\eta) = d\omega\wedge\eta + (-1)^k\omega\wedge d\eta }$$

• Fundamental Identity

$$\boxed{ d^2=0 }$$

• Forms and Vector Calculus

$$\boxed{ df=W_{\nabla f} }$$ $$\boxed{ dW_F = \Phi_{\operatorname{curl}F} }$$ $$\boxed{ d\Phi_F = M_{\operatorname{div}F} }$$

• Vector Identities

$$\boxed{ \operatorname{curl}(\nabla f)=0 }$$ $$\boxed{ \operatorname{div}(\operatorname{curl}F)=0 }$$

• Pullback

$$\boxed{ (f^*\omega)_x(v_1,\ldots,v_k) = \omega_{f(x)} (Df\,v_1,\ldots,Df\,v_k) }$$

• Pullback and Exterior Derivative

$$\boxed{ d(f^*\omega) = f^*(d\omega) }$$

• Generalized Stokes's Theorem

$$\boxed{ \int_{\partial X}\omega = \int_Xd\omega }$$

• Fundamental Theorem for Line Integrals
• Green's Theorem
• Stokes's Theorem
• Divergence Theorem
• 위 네 정리가 generalized Stokes's theorem 하나의 special case라는 점
• Electromagnetic Field as a $2$-Form on $\mathbb{R}^4$
• Closed Form

$$d\omega=0$$

• Exact Form

$$\omega=d\eta$$

• Poincare's Lemma

$$\boxed{ d\omega=0 \iff \omega=d\eta }$$

on open star-shaped domains.

• Potential Field

$$\boxed{ \operatorname{curl}F=0 \iff F=\nabla f }$$

on star-shaped domains.